ในโลกของความน่าจะเป็น ตัวแปรสุ่ม ตัวแปรสุ่ม ไม่ใช่แค่ตัวแทนค่าที่ยังไม่รู้เหมือนในพีชคณิต แต่ลองคิดว่ามันคือ ตัวแปลงแบบเป็นทางการ. มันคือฟังก์ชันที่ให้ค่าจริง $X: S \rightarrow \mathbb{R}$ ที่เปลี่ยนผลลัพธ์เชิงคุณภาพจากการทดลอง (เช่น "การหยิบลูกบอลขาว") ให้กลายเป็นค่าตัวเลขเชิงปริมาณ (เช่น "เสีย 1 ดอลลาร์")
ตรรกะของการจับคู่
โดยใช้ตัวแปรสุ่ม เราจะเลิกพูดถึงเซตของผลลัพธ์ที่ซับซ้อน และเริ่มพูดถึงเหตุการณ์ในเชิงตัวเลขแทน ตัวอย่างเช่น หากเราโยนเหรียญ 3 ครั้ง เราจะไม่พูดถึงเซต $\{HHT, HTH, THH\}$ อีก แต่เราจะนิยาม $X$ ว่าเป็น "จำนวนหัว" และวิเคราะห์เหตุการณ์ $X=2$ โดยตรง
ตัวแปรสุ่มจะเป็น เชิงเดี่ยว ถ้าโดเมนของมันเป็นจำนวนจำกัดหรือ อนันต์นับได้ (เช่นจำนวนเต็ม) นี่เป็นความแตกต่างที่สำคัญ เพราะทำให้เราสามารถใช้ การรวม ($∑$) แทนการอินทิเกรต เพื่อหาความน่าจะเป็นรวม
ฟังก์ชันมวลความน่าจะเป็น (PMF)
ฟังก์ชันมวลความน่าจะเป็น (PMF) ที่เขียนแทนด้วย $p(a)$ แสดงความน่าจะเป็นที่ตัวแปรสุ่มเชิงเดี่ยวจะมีค่าเฉพาะ $a$ ต้องเป็นไปตามข้อสมมติฐานสองประการที่ไม่สามารถละเลยได้:
- $p(x_i) \geq 0$ (ไม่มีความน่าจะเป็นลบ)
- $\sum_{i=1}^{\infty} p(x_i) = 1$ (มวลความน่าจะเป็นรวมต้องครอบคลุมผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมด)
ตัวอย่างที่แก้โจทย์: ปัญหาลูกบอลในกระบอก
พิจารณากระบอกที่มีลูกบอลขาว 8 ลูก ดำ 4 ลูก และส้ม 2 ลูก เราหยิบลูกบอลหนึ่งลูก และนิยาม $X$ เป็นเงินรางวัลของเรา: ได้ 2 เหรียญหากได้ลูกดำ แต่เสีย 1 เหรียญหากได้ลูกขาว ฟังก์ชันมวลความน่าจะเป็น (PMF) แปลงการกระทำ "การหยิบลูกบอล" ให้กลายเป็นการแจกแจงทางการเงิน ทำให้เราคำนวณความน่าจะเป็นในการหมดตัวเทียบกับการขาดทุนได้
หาก $p(i) = c\lambda^i/i!$ สำหรับ $i=0, 1, 2, \dots$ เราจะหาค่า $c$ โดยให้ผลรวมเท่ากับ 1 ก่อน จากการใช้สูตรทาว์ลอร์ของ $e^\lambda$ เราพบว่า $c = e^{-\lambda}$ จากนั้น $P\{X=0\} = e^{-\lambda}$ และ $P\{X>2\} = 1 - e^{-\lambda}(1 + \lambda + \lambda^2/2)$